喜怒哀楽って英語でなんて言うの？

基本的な人間の感情です。
Anger and Joy = 喜怒
Grief and pleasure =　哀楽

「彼女は喜怒哀楽が激しい」→She is very emotional.
→She is very moody.（悪い印象が取れるので、この文をご注意ください。）

彼は喜怒哀楽を色に表さず→He does not reveal his emotions.
他の「喜怒哀楽を色に表さず」の言い方は：
Poker-face(ポーカーフェース)か Stone-face(ストーンフェース)⇒表情や反応がない。

「喜怒哀楽」という意味にはなりませんが、emotional 「情にもろい」「感情的な」「感情の起伏が激しい」というような意味をもつ単語が一番近いと思います。

emotion は「感情」「感激」です。

She is an emotional person.

人ではなく物につくと「感動的な」という意味になります。

emotional music.
That movie was so emotional.

感情表現が豊かな人は　expressive と言えます。She’s a very expressive person, so you can always tell what mood she’s in. （彼女は喜怒哀楽が激しいので、いつでも感情が明らかです。）
他の言い方は emotionally expressive　や　expressive with their emotions　です。例：He’s very expressive with his emotions.