カタカナの通り、「ダメージ」の英訳は"damage"(名詞)です。
目的語でしたら、よく使われる動詞は"sustain" (与える)と"have" (ある)です。
また、動詞の"damage"もあり、意味は「壊す」です。
例文:
Because I dyed my hair too many times, my hair sustained a lot of damage. (髪の毛を何回に染めて、染めすぎたので、ダメージを与えました。)
The naughty boy damaged the painting that his sister worked so hard on. (あのいたずらな子供はお姉さんの一生懸命に頑張った絵を壊しました。)
ダメージはそのままdamageといいます。
髪の場合は
Damage to the hair, damaged hair, hair damage
髪はすごいダメージが与えた
My hair is so damaged
There is so much damage to my hair
髪はダメージ与えたから新しいシャンプにする
My hair is damaged so I will use a new shampoo
Because my hair is damaged, I will use a new shampoo