To wave a flag
旗を振る
「手を振る」は英語で、to waveやto wave your handになります。
We wave when we say goodbye
さよならを言う時に手を振る
With a wave of his hand
彼は手を振ることで
ご参考になれば幸いです。
「振る」は英語でいくつかの意味があります。「手を振る」などの場合の「振る」は英語でwaveやshakeやswingと言うことができます。何を振るによって適切な単語が変わります。例えば、「手を振る」はwaveがいいです。「頭を振る」の場合にはshakeという言葉がいいです。他に、「告白された時に断る」の場合には英語でturn downやrejectなどと言います。この場合にこれは英語で「断る」と同じ意味になります。
例：
She waved when she saw her friend.
彼女は友達を見た時に手を振りました。
She shook her head.
彼女は頭を振りました。
He turned her down because he likes someone else.
彼は他の誰かが好きだから彼女を振りました。
「旗を振る」というのは "wave a flag"ですね。
「手を振る」というのは "wave (your) hand"です。
しかし、告白された時に断ることの「振る」は "turn down"と言いますね。
例文：
彼女が好きではないので、彼女を断って振った。
I don't like her, so I turned her down.
「振る」という言葉を英語で伝えると、「wave」という言葉になります。この言葉は動詞です。例えば、「旗を振る」という表現を英訳すると、「wave a flag」になります。「Flag」は「旗」という意味があります。「手を振る」は「wave your hand」になります。「Hand」は「手」です。「Wave」の過去形は「waved」です。例えば、「waved a flag」という表現と「waved your hand」という表現と言っても良いと考えました。
「振る」は英語でいろいろ言葉になれます。momokoさんの例は「wave」です。
to wave a flag - 旗を振る
to wave a hand - 手を振る
「Shake」は例えば鐘や枝や頭について話に自然です。「Wave away」は「断る」という意味があります。この場合手を振ったら、「あっち行け」という意味になります。
He waved away the beggar.
彼はこじきを振った。
アメリカ合衆国 
