"Would you please~?""Could you please~"は、丁寧な言い方で「～して頂けますか？」「～をお願いしてもよろしいですか？」という表現です。
また、"correct"は添削する、訂正するといった意味になります。
結びの言葉(敬具)には、”Many thanks"や”Sincerely"、”Kind regards"といった表現がよく使われます。
I would be very happy if you could check over my assignment.
ご質問ありがとうございます。
"I would be very happy if you could check over my assignment."＝「私の課題を添削して下さればとても嬉しいです。」
☆ 初めてのメールということなので、少しテンションが高めの言い方にしました。
☆ 場合によっては、メールの終わりに "Thank you so much!" （本当にありがとうございます！）と付け加えるのも良いかと思います。
ご参考に。
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