おそらくあなたに子供がいないので、もし子供の世話を頼まれたら、自分の母に任せるだろうということですね？
でしたら
I'll leave that to my mom.
それはお母さんに残しておくよ。（任せるよ）
leave 「残す」
若干上から目線にも感じられますが、「私はやらない」「〜〜に譲る」「〜〜に任せる」というようなニュアンスです。文脈によっては自分が嫌なことを押し付ける感じを出すこともできます。
I'll let my mom do it.
それはお母さんにやらせるよ。（もしくはやらせてあげるよ、やってもらうよ）
これもエラそうな感じがしますが、使える表現だと思います。
質問がすでに「子供の世話を頼まれたら？」なので、わざわざ繰り返して言うことはなく、it や thatになると思います。もし「子供の世話は〜」を文中に入れたいのであれば、
I'll let my mom take care of the child.
その子供の面倒はお母さんに見てもらうよ。
となると思います。
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