I put tissues in a washer by mistake.
間違って洗濯機にティッシュを入れてしまった。
by mistake ＝ 間違って
I left a tissue in a pocket and ran a washing machine.
ポケットにティッシュを入れたまま、洗濯機を回してしまった。
洗濯機をwashing machineやwasherと言います。laundryよりも機械そのものに重きをおいた言い方だと思います。runは本来「走る」ですが、run a washing machine で「洗濯機を回す」になります。（ゴロゴロ回る感じが車輪っぽいからかなと勝手に思っています）
複数のティッシュ（例えばポケットティッシュ丸ごと）ならばtissuesでいいと思います。一枚使ったのが入っていたのならば、a tissueでもいいでしょう。
他にfacial tissuesやkleenex（商品名ですが）と呼ぶ人もいます。
洗濯物は英語で laundry と言います。
洗濯機にティッシュを間違えて入れた
I mistakenly put tissue paper in the laundry.
こんな感じで言えると思います。
使用済みのティッシュをポケットに入れたままと言いたいときは、
I left a used up tissue in my pocket and mistakenly put it in the laundry.
洗濯してしまったときに、put it through the wash とも言えますよ！
I mistakenly put tissue paper through the wash and now it's all over my laundry.
ティッシュを間違えて洗濯してしまって、洗濯物ティッシュだらけ。
こんな感じで言えると思います。
ティッシュ、洗濯してしまうと本当に大変ですよね！
私の子どもたちも何回注意してもポケットから出すのを忘れて、何回一緒に洗濯したことか…。
お役に立てれば幸いです！
日本 
