「リンカーンに乗せてもらうの初めて」=
1) It's the first time I've been in a Lincoln. = 運転すること，助手席に座ること，バックシートに座ることは関係なく，「リンカーン（という車）の中でいたことは初めて」という意味です。
2) It's the first time riding in a Lincoln. ＝ 「リンカーンに乗ることは初めて」（乗せてもらうと微妙に違いますが，ほぼ同じです）。１と同じく，運転するかしないか関係ありません。
3) It's the first time I've ridden in a Lincoln. = 運転せずに，座るだけの意味になります。（＝乗せてもらう）
ご参考までに
This is my first time being a passenger in a Lincoln.
It's the first time anyone has picked me up in a Lincoln.
No one has ever picked me up in a Lincoln before.
3つの言い方を追加で紹介します！
① This is my first time being a passenger in a Lincoln.
This is ＝ これは〜です
my first time ＝ 私にとって初めて
being a passenger ＝ 乗客になる事が
in a Lincoln ＝ リンカーンに
② It's the first time anyone has picked me up in a Lincoln.
It's the first time ＝ 初めてです
anyone has picked me up ＝ 誰かが私を車に乗せた事が
in a Lincoln ＝ リンカーンに
③ No one has ever picked me up in a Lincoln before.
No one has ever〜before ＝ 今まで誰もしたことがない
picked me up ＝ 私を車に乗せた
in a Lincoln ＝ リンカーンに
アメリカ合衆国 
