必死って英語でなんて言うの？

訳を二つ挙げました。両方とも結構使います。

例
彼は必死になっている。
He’s desperate.

「必死に勉強した」という文では、「必死に」は副詞になるので、単語の変化に注意しましょう。
例
必死に勉強した。
I studied frantically.
I studied desperately.

desperately=「必死に」
entrance exam＝「入学試験」

I’m desperately studying to pass the entrance exam to a university in the U.S.
「アメリカの大学入試に合格するため、必死に勉強しています」

struggle＝「もがく、もがきながら進む」

I’m struggling to study for a university entrance exam in the U.S.
「アメリカの大学への入学試験の勉強に必死になっています」

ご参考まで