desperately=「必死に」
entrance exam=「入学試験」
I’m desperately studying to pass the entrance exam to a university in the U.S.
「アメリカの大学入試に合格するため、必死に勉強しています」
struggle=「もがく、もがきながら進む」
I’m struggling to study for a university entrance exam in the U.S.
「アメリカの大学への入学試験の勉強に必死になっています」
ご参考まで