どちらも「どうして私が責められなきゃいけないの？」という言い方です。
1) Why are you blaming me?
blame 人 で「人を責める」
2) Why are you putting the blame on me?
put the blame on 人 で「人に責めを負わせる・人の落ち度にする」
ご参考になれば幸いです！
既に他のアンカーの方が回答してらっしゃいますが、おっしゃられている内容は、
Why are you blaming me?
「なんで私のことを責められるの？」
または、
How can you blame me?
「どうやったら私のことを責められるって言うの？」
などと言うことができます(*^_^*)
blameは「責める」の意味でよく使われる表現です♪
例）
You don't have to blame yourself.
「自分のこと責めたりしなくていいんだよ」
There are other things to do before blaming others.
「他の人を非難する前に他にやることがあるでしょ」
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
★★大阪カフェレッスン英会話講師 KOGACHI
日本 
