get a promotion 「昇進する」という言い方なので、KAZUさんの文ですが、「私のために昇進することを頼んでくれない？」という意味になってしまいます。ですので、下の例文のように言うと良いでしょう。
1) Can you ask my boss to give me a promotion?
「私が昇進できるよう上司に頼んでくれない？」
ask 人 to give ~ で「人に〜を与えるよう頼む」という言い方が使えます。
2) Can you ask my boss to promote me?
「上司に私を昇進させるよう頼んでくれない？」
こちらは動詞の promote を使った言い方です。
promote で「（人を）昇進させる」という意味です。
冗談ぽく言うなら、後ろに and give me a big raise? を付けて
Can you ask my boss to promote me and give me a big raise?
「上司に私を昇進させて、ついでに大幅な昇給も頼んでくれない？」
と言っても良いですね。
ご参考になれば幸いです！
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