存在が大きいって英語でなんて言うの？

こう言う「存在がある」の意味は 「生活・一生の一部・部分」と言うことですね。

英語で「存在がある」は to be a part of one's life です。
そして「大きい存在」は a big part of one's life と言います。

The dog was a very big part of her life.
very は「非常」。

「愛犬」を beloved dog とも言えます。

既に回答が挙がっていますので、
私は、似たようなニュアンスを表す英文を関連表現として、参考程度に挙げさせていただきます(^_^)

The dog was really important to her.
「犬は彼女にとってすごく重要だった」
The dog was everything to her.
「犬は彼女にとって全てだった」

「大きい」＝bigという言葉も「存在」＝existenceという言葉も使っていませんが、
表している内容は似ているので、
結局のところ　言いたい内容を相手に伝えることは出来ます(^_^)

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)