まずは直訳、”Let me get it the next time." 、この時の代名詞、"it" は請求書を意味します。従って、「次回は私に請求書をちょうだい」というような直訳から ”let"（～させて）という表現と合わせて、「次回は私に払わせて」という自然な言い方ができますね。
また二個目の英訳例では ”I'll get the bill next time." 、請求書＝bill というのをはっきり言うパターンで、「次回は私が払うね」という表現もまた同じ意訳になります。
同時に、英語で「おごる」といのを ”on ○○○（人）” と言いますので、”It's on me next time" という表現だけでも「次回は私がおごるね」という言い方ができます。
いずれ、どれも少しだけ形が違いますがニュアンスとしては皆同レベルの同じ意訳になります。
参考になればと思います。
たくさん意味のあるI get youの中の「おごる」のパターンです。この際のgetは第4文型となり、SVOOの形になります。最初に対象の人が来て、次に与える対象のものが来ます。
おごるという文脈ですので、おそらくディナーなのかなということで今回はそうさせていただきましたが、ここをcoffeeやteaなど、飲み物でもいいわけです。誘い文句の一つで、例えば勉強を手伝ってもらった時に「今日は手伝ってくれてありがとう。今度何かコーヒーでも飲みに行こうよ、おごるからさ。」と言いたい時なんか、Thanks for helping me out today. I'll get you a coffee or something next time.とすることができます。
ちなみにですが「今度一杯おごるよ」と、お酒のお話ですと、I'll get you a drink next time.とa drinkで「一杯のお酒」という意味になります。
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