仲介するって英語でなんて言うの？

仲介するは「to mediate」となります。「仲介」そのものを指す言葉は「mediation」です。仲介人は「mediator」や「middleman」になります。

例
・I'd like to mediate in the purchase of~（○○の売買の仲介をさせて頂きたいです）

・I work as a mediator in~（私は○○の仲介人として働いています）

keitoさん

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然な表現を紹介します。

• I'm working as an officially appointed mediator for them.
• She provides mediation.

--- officially appointed = 公式に任命された
--- provide = 提供する

お好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。

ご質問ありがとうございます。

仲介する は to mediate です。

仲介者 と 仲介手数料
Broker Broker handling fees
Intermediary intermediary handling fees

例えば

アパートを借りる時には 、その仲介者の仲介手数料が高くて、本当に辛いですよ。
When you rent an apartment, that broker's broker handling fee is so expensive , it’s really rough.

ご参考になれば幸いです。