I'll be tenacious keeping in mind (that) there are people who have got over the same difficulties as me.
I'll be persistent keeping the existence of people in mind who have got over the same difficulties as me.
『頑張る』はいろいろな言い方がありますが、tenacious(不屈の) やpersistent(粘り強い), stick to(~に固守する), do one's best(最善を尽くす) など使われます。
~がいると思って は、keep in mind (that)~(~のことを心に留めて)
同じ困難を克服した人
people who have got over the same difficulties as me.
(「克服する」は、get over~です。それの現在完了形です)
2番目の文は、1番目の文を多少変更して作った文です。
keep in mind that~=keep ~in mind ~
existence は『存在』です。
文の意味は、「同じ困難を克服した人たちの存在を心に留めて頑張る」です。