The widely held belief that dogs have a better sense of smell than human was proven to be false.
It's widely believed that dogs have a more sensitive sense of smell than human beings, but it was proven to be wrong.
一つ目の例文は、日本語からの直訳です。
主語の"The widely held belief"は、 "The common belief"とも置き換え可能で、「通説」「広く信じられていること」と言う意味です。
それをThat以下でどういう通説なのか具体的に説明しています。
「犬は鼻がいい」＝"Dogs have a good/sensitive sense of smell"で良いですが、
「犬は人より鼻がいい」という比較の言い方をしているので、この場合は
"good"なら"better"、"sensitive"なら"more sensitive"とする必要があります。
従って、この文の主語は"The widely held belief that dogs have a better sense of smell than human" までになります。
動詞部分の「打ち砕かれた」は、受身で「主語 was proven to be false/wrong」としました。
「誤りであると証明された」という意味になります。
次に二つ目の文ですが、こちらは口語的な（会話的な）言い方です。
「～ということは広く信じられているが、しかしそれは誤りだと証明された」というふうに、全体を２つに分けています。
日本 
