彼女はいつも私に〇〇を聞いてくるって英語でなんて言うの？

Tomさんの訳でほぼあっていますが、that を取り除けば伝わります！

彼女はいつも私に『インスタに載せる写真はどれがいいと思う？』と聞いてくるんです
She always asks me which picture to chose to post on instagram.

です。
うんざりしていることも付け足す場合、
and I'm sick of it.
です。
少しキツイ言い方になるので使う時は気を付けてくださいね。

お役に立てれば幸いです！

ご質問にあった英文を見てみましょう。

従属節に、which～という疑問詞から始まる節を用いる時は、その前にthatは不要です。
また、文尾の”？”マークも、この場合はつけません。
ですので、以下のように伝えて頂けば通じます。
"She always asks me which photo is the best to post on Instagram."

例として、別の表現も挙げてみました。
"She bothers me by asking about some photos to post on Instagram."
（彼女は、インスタに載せる写真について聞いてきて、私の邪魔をする。）

botherは、「困らせる、邪魔をする、ちょっかいを出す」といったニュアンスなので、こういうシチュエーションにはよく使われます。by ～ingは「～することで」という意味なので、ここでは「～を聞いてくることで邪魔をする」となります。

ご参考になれば幸いです！