彼女は、私にだけ隠し事がないって英語でなんて言うの？

1) I'm the only person she doesn't keep any secrets from.
「彼女は私だけに隠し事をしない。」
keep a secret「隠し事をする」

2) That's how close we are.
「それだけ仲が良いんだ。」
close には「親しい・親密な」という意味もあります。

または下のようにも言えます。
I'm so close to her that she tells me and only me, all of her secrets.
「私と彼女はとても仲が良いから、彼女はすべての秘密を私だけに話してくれる。」
secret で「秘密」

ご参考になれば幸いです！