何件くらいの手術が行われているの？って英語でなんて言うの？

「手術」はsurgery、または、operationと言います。この場合どちらでも構いません。

「年間」を表すのは、"annually"または"per year"。
"annually"は「毎年」、"per year"は「１年間に（つき）」という意味になります。

"Approximately"は「およそ、だいたい」という意味ですね。

「行う」は"perform"か、シンプルに"do"を使っても良いでしょう。ここでは、「手術が行われる」という意味で、受動態になっていますね。

「何件の手術が～」と聞くには、各回答のようにHow many surgeries～で文章を始めます。

ご参考になれば幸いです！