どちらも「現在上司に問い合わせ中です。」という言い方です。
「問い合わせ」は ask, check, inquire を使って言え、現在進行形にすることで「問い合わせ中」という意味になります。
1) I'm asking my boss about this right now.
現在上司に問い合わせ中です。
2) I'm checking on that with my boss right now.
現在上司に問い合わせ中です。
3) I'm inquiring about that with my boss right now.
現在上司に問い合わせ中です。
ご参考になれば幸いです！
最初の言い方は、In the process of asking は、問い合わせ中と言う意味として使われていました。
最初の言い方では、process は、中という意味として使われています。asking は、問い合わせと言う意味として使われていました。例えば、I am in the process of asking the company. は、会社と問い合わせ中と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、In the process of gaining approval は、承認を得る最中と言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、gaining approval は、承認を得るという意味として使われていました。
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