直訳的にthe order in which orders are takenになりますね。ちょっと違和感ですね。
the order in which food orders are takenもちょっと不自然ですが、より分かりやすいと思います。
でも自然に「ウェイターに注文を取る順番を間違えられて後回しになった」と言いたい時、
The waiter skipped us, so our food arrived late *skipped＝ウェイターに抜かされた
がいいと思います。
ご参考になれば幸いです。
The waiter took other customers' orders before ours even though we arrived before them.
The waiter skipped over our table to take other people's orders ahead of us.
yoshiさんのおっしゃるように「注文」と「順番」のどちらも order を使って言うとややこしくなるので、下のように言うと良いですよ！
1) The waiter took other customers' orders before ours even though we arrived before them.
「私たちの方が先に来たのに、ウェイターが他のお客さんの注文を先に取った。」
take one's orders で「〜の注文を取る」
または
2) The waiter skipped over our table to take other people's orders ahead of us.
「ウェイターは私たちを飛ばして、他の人の注文を取った。」
skip over one's table 「〜のテーブルを飛ばす」
ahead of us で「私たちより先に」
ご参考になれば幸いです！
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