ご質問ありがとうございます。
お願いするとき、「Can you...?」＝「...してもらいませんか？」という文法はよく使われています。
なので、この場合でも使います。
「…にしてください」は英語で「put (it) in」＝「入れる」に訳します。
二つの言い方がちょうど良いと思います。
まず、「Can you please put it in my mug?」と言います。
「it」は代名詞として「注文した飲み物」を指しますから、代わりに「the drink」と言いても構いません。「my mug」は「私のマグカップ」という意味があります。
あとは「Can you please put the drink in this mug?」と言います。
「this mug」＝「このマグカップ」となりますから、このフレーズを言うときによく身振りで持っているマグカップを指さします。
どっちでも使っても良いと思います。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
