[ラッキー](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40065/)は使えませんが幸いなことにラッキーの副詞で
後者の luckilyなら使うのが可能です。
その他[運良く](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42202/)って意味で fortunately なども普段使われてます。
luckily = ラッキーなことに、幸いなことに
fortunately = 幸いなことに
それぞれ文章のはじめにつける事が可能ですが途中で付け足す場合は
接続詞を前に置くと良いです。
「幸いなことに抜け出すことが出来た」
"Fortunately I was able to get out"
「締め出されたけど幸いなことに抜け出すことが出来た」
"I got shut out but luckily I was able to get out" など
加筆です
Thankfully=「幸いなことに、[ありがたい](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/66022/)ことに」
Thankfully, no one noticed the mistakes I made.
「幸いなことに、だれも私の犯した[間違い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33256/)に気が付かなかった」
Thankfully, I was able to manage the situation well.
「幸いなことに、私はその状況をうまく対処することができた」
ご参考まで