fasten はシートベルトやハーネスなど、体を固定するものに対する「締める」という動詞で用いられます。
while you're seated の他にも during the flight という場合もあります。
ちなみに、while は接続詞の扱いで、後に主語と動詞が来まして、during は前置詞の扱いで、名詞が後に続きます。
参考までに(^^)
Please keep your seatbelt fastened while you're seated.
Please fasten your seatbelt while you're seated.
→while you're seatedは受身ですが、「あなたが席についている間は」という意味でよく聞くアナウンスかと思います。
Please keep your seatbelt fastened while you're seated.
着席している間はシートベルトを締めたままにしておいてください。
→Keep〜過去分詞:〜をその状態にしておいてください。