Is there anything on the menu that doesn't have dairy?
Yoshikoさんが紹介したように、「乳製品」は"dairy products"と言いますが、"dairy"だけと呼ぶことも多いです。また、「乳製品のないもの」という表現の"anything that doesn't have dairy"の中の"that"の代わりに"which"とも言えますが、自分の周りですと"that"の方が使われることが多いので"that"を使っています。
①は、「乳製品の入ってないものは何かあります?」という意味です。
②は、「メニューに乳製品の入ってないものは何かありますか?」という意味です。
Do you have some food which does not contain dairy products?
Is the food available which does not contain any dairy products?
Do you serve food which does not contain dairy products?
『乳製品』はdairy product(s)といいます。
(書く時は、dairy のスペリングに気をつけましょう。dailyとrをl にすると、『毎日』という意味になってしまいます)
乳製品を含まない食べ物 は
food which does not contain (any) dairy products です。
(any を付けると、『全然』と意味が強調されます。
~がありますか? という言い方は何種類かありますが、
1番目の例文のように、
Do you have~?
あるいは2番めの例文のように
Is ~ available~? (available は、ここでは『入手できる』という意味)
または、3番目のように、(機内や、レストラン、カフェなどでは)
Do you serve~?
(serve は『食べ物を出す』『給仕する』等の意味)
などといいます。
ちなみに「乳製品にアレルギーが有る」 という言い方は
I'm allergic to dairy products.
などの言い方があります。