乳製品の入っていない食べ物はありますかって英語でなんて言うの？

Yoshikoさんが紹介したように、「乳製品」は"dairy products"と言いますが、"dairy"だけと呼ぶことも多いです。また、「乳製品のないもの」という表現の"anything that doesn't have dairy"の中の"that"の代わりに"which"とも言えますが、自分の周りですと"that"の方が使われることが多いので"that"を使っています。

①は、「乳製品の入ってないものは何かあります？」という意味です。

②は、「メニューに乳製品の入ってないものは何かありますか？」という意味です。

Do you have ~? と Is ~ available? は、他の回答者の方も書かれていますように、「〜はありますか？」という意味です。

「乳製品の入っていない」に関して、簡単に一語で言える表現を2つ挙げてみました。

dairy-free と non-dairy の両方とも、「乳製品の入っていない」という意味で使えます。

-free は、「〜がない」という意味なので、他の単語と組み合わせても、いろいろと使える表現です。

fat-free（無脂肪の）
alcohol-free （アルコール分が入っていない）
chemical-free （化学薬品を使っていない）

meal は一回分の食事を表すので、機内食などによく使われる表現です。

『乳製品』はdairy product(s)といいます。
(書く時は、dairy のスペリングに気をつけましょう。dailyとｒをl にすると、『毎日』という意味になってしまいます）

乳製品を含まない食べ物 は
food which does not contain (any) dairy products です。
（any を付けると、『全然』と意味が強調されます。

～がありますか？ という言い方は何種類かありますが、
1番目の例文のように、
Do you have~?
あるいは2番めの例文のように
Is ~ available~? (available は、ここでは『入手できる』という意味）
または、3番目のように、（機内や、レストラン、カフェなどでは）
Do you serve~?
(serve は『食べ物を出す』『給仕する』等の意味）
などといいます。

ちなみに「乳製品にアレルギーが有る」 という言い方は
I'm allergic to dairy products.
などの言い方があります。