I can't go today. I have things to do.
私は今日行けません。やることがあって。
Sorry, I’ve got a few errands to run.
ごめんね、今日はちょっと済まさなきゃいけない用事があって。
errands は例えば「郵便局に行かなきゃ」とか「食料品買わなきゃ」とか細々した外出のことを言います。「事情」が別のところに行かなきゃいけない系統のものなら errands が使えます。thing to do は単純に「やること」ですので、家で何かするのも含まれます。
Something came up, so I can't make it to our class today.
この場合、次のような言い方が自然で良いかなと思います。
ーSomething came up, so I can't make it to our class today.
「事情があって、今日のクラスには行けません」
日本語で「事情がある」と言う時、大抵理由を言わない、または言いたくないことが多いと思うので、something came up と言うのが良いかと思います。
ご参考まで！
日本 
カナダ 
