it continues to rain/it continues raining=雨が降り続ける
continueは、「続ける」「継続する」などの意味があります。continueの後ろにくる動詞は、たとえば「雨が振る」の場合は、to rainのように辞書形か、あるいはrainingのように動名詞、という二種類の形で出てくることがあります。
it continues rainingだと、「休みなくずっと振り続けている」というニュアンスがあるのに対して、it continues to rain (every week)の場合は、「習慣として毎週として確かに振り続けているが、その合間にたまには振らない日や時間などもあります」といった意味合いがあります。
it keeps raining= 雨が降り続ける
keepは、「保つ」「にしておく」などの意味をもつ動詞ですが、助動詞として使うとき、「ある状態を続ける」といういみになり、後ろに来る動詞は、continueとは違い、ingの形しかとれないということです。
If you keep making the same mistakes, you will eventually get fired.
あなたは、同じ間違いばかりし続けていると、結局解雇されてしまいますよ。