What do you do for a living? というと「お仕事は何をされていますか？」という質問になります。
make a living だとまさに「生計を立てる」という意味になります。衣食住など生活をしていくために稼いでいることになりますので、話の流れによっては、大変さや最低限であるニュアンスを含めることができます。
Plenty of people came to this city to make a living.
たくさんの人が生計を立てるためにこの街に来た。
I wanted to be a writer but was told I could never make a living that way.
私は作家になりたかったが、その道で生計を立てることはできないだろうと言われた。
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