If I pass my due date, how much longer do I wait for my contractions?
If I go over my due date, until when do I wait for labor to start?
「出産予定日」は英語で due date と言います。「予定日を過ぎる」というには pass the due date や go over the due date と言います。ちなみに図書館とかで本を返す期限を越してしまった時とかにも同じく this book is overdue(この本は返す日を過ぎています) と言います。
陣痛は contractions 又は labor と言います。go into labor というと「陣痛が始まる」という意味です。contractions はどちらかというと子宮の収縮を意味します。