こんにちは。質問ありがとうございます。
I would like to → ～したいです
check → 確認する
inside → 中、中身、内側
the box → 箱
I would like toの代わりにI want toでもいいですが、I would like toの方がとても丁寧に「～したいです」を表します。
check「確認する」の代わりにsee「見る」を使い、「箱の中を見たい」と言っても同じようなことが伝わります。
またの質問をお待ちしております。
「I want to check the contents of the box」と表すことができます。
check the contents of the box は「箱の中身を確認する」という意味の英語表現です。
例えば他には inspect the contents と言えば「中身を検査する」になります。 look inside the box なら「箱の中を見る」です。
下記は例文ですのでぜひ参考にしてください：
Can we check the contents of the box before signing?
署名する前に箱の中身を確認できますか？
アメリカ合衆国 
