私に構わず皆さんの都合のいい日にしてくださいって英語でなんて言うの？

「私に構わず」は英訳すると、(please) don't mind meのようなフレーズになります。
mindは名詞として使うときに、「心」「知性」などの意味になりますが、動詞として使うと、「（何かを）嫌だと思う」や「気にする」「構う」などのような意味になります。

A: Do you mind if I open the window?
B: No, not at all.
A:　窓を開けてもいい？
B:　うん、どうぞ。

「皆さんの都合のいい日にしてください」を英訳してみると、choose the most convenient day for allのような文になります。
chooseは「選ぶ」といった意味です。
convenientは、「都合のいい」のほかに、「便利な」「適当な」といった意味もあります。

What is the most convenient way to get to Narita Airport?
成田空港に行くのに一番便利な方法はなんでしょうか？

また、「日」を意味するdayの代わりに、「日付」を意味するdateを使っても大丈夫です。
whateverは、使い方が色々ありますが、ここでは、「何であっても」「何であれ」「どんな～でも」などのような意味で使われています。

I'll do whatever it takes to help my family.
私の家族を助けるするためには、何でもする。

この場合、次のような言い方ができますよ。

ー pick a day that's good for everyone.
「私は行けないから、みんなの良い日を選んでいいよ」

ーI can't go, so you guys just choose a day that works for everyone.
「私は行けないから、みんなの都合の日を選んでいいよ」

ご参考まで！