Please don't mind me and choose the most convenient day for all
Please don't mind me and choose whatever date is most convenient for all
「私に構わず」は英訳すると、(please) don't mind meのようなフレーズになります。
mindは名詞として使うときに、「心」「知性」などの意味になりますが、動詞として使うと、「(何かを)嫌だと思う」や「気にする」「構う」などのような意味になります。
A: Do you mind if I open the window?
B: No, not at all.
A: 窓を開けてもいい?
B: うん、どうぞ。
「皆さんの都合のいい日にしてください」を英訳してみると、choose the most convenient day for allのような文になります。
chooseは「選ぶ」といった意味です。
convenientは、「都合のいい」のほかに、「便利な」「適当な」といった意味もあります。
What is the most convenient way to get to Narita Airport?
成田空港に行くのに一番便利な方法はなんでしょうか?
また、「日」を意味するdayの代わりに、「日付」を意味するdateを使っても大丈夫です。
whateverは、使い方が色々ありますが、ここでは、「何であっても」「何であれ」「どんな~でも」などのような意味で使われています。
I'll do whatever it takes to help my family.
私の家族を助けるするためには、何でもする。