娘が幸せそうで、嬉しい。嬉しかった。って英語でなんて言うの？

「自分の娘が幸せそうで、私は嬉しい／嬉しかった」は

I'm glad/happy that SV.

の形を使えばオーケーです。「嬉しかった」とする場合は
I [was] glad that my daughter [looked] happy.
とlookも過去形にします。時制の一致という英語の文法が当てはまるからです。

I am/was glad to see my daughter happy.では、動詞はamかwasだけなので文の後半は変化しません。

It's good that my daughter looks happy.も英語として問題はありませんが、「私は嬉しい」というよりは、「娘が幸せなのは良いことだ」という意味になります。

直接娘さんと話している時に言うとしたら、

I'm glad if you are happy now.
（あなたが今幸せなら、私はうれしいよ。）

という表現もありですね。

gladをhappyとしても、もちろんかまいません。

参考になれば幸いです。