「彼は図書館もしくは学校のどちらかに行かなかった」って英語でなんて言うの？

上の文章で、「どちらか」は　単純に「or」を使います。

他の否定文で「どちらか」を使いたいときは「neither, nor」と言う表現もあります。
この場合は「He was neither at school nor the library.」も書けます。注意点は一つあります：neither/nor は語類を並行的に使ってください。上の例文では「school/library」は名詞なので、正しいです。