I was sick with pneumonia but I am getting better.
I have been sick with pneumonia but I am recovering.
「肺炎」は pneumonia と言います。
まずは「肺炎にかかっていました」というところですが、
I had pneumonia というと「肺炎にかかってた」という過去形になります。もう完治したというニュアンスです。I was sick with pneumonia も同じ感じです。
それとは異なって I have been sick with pneumonia というと「肺炎になっていて」という感じでいまだに完治はしていないニュアンスです。
続きの「だいぶ良くなってきました」のところも、now I am a lot better ですと「今はだいぶ良くなってます」という意味で、I am getting better ですと「良くなってきてます」という意味で今もまだ症状は続いている感じです。同じく I am recovering も、まだ病気はあるが回復は順調にしているというニュアンスです。どうぞご参考に。
いくつかの言い方が考えられますが、例えば、 I had pneumonia, but I'm feeling much better now. 「肺炎にかかっていましたが、今はだいぶよくなってきました。」
また少し変えて、 I was diagnosed with pneumonia in the summer, but I've been improving a lot recently. 「夏に肺炎と診断されましたが、最近はだいぶ良くなってきました。」
というようにも表現できます。
関連する例文: Thank you for your concern. I had pneumonia, but I'm doing much better now. 「ご心配ありがとうございます。肺炎にかかっていましたが、今はだいぶ良くなっています。」
I had to take time off work because of pneumonia, but my health is improving. 「肺炎のために仕事を休まなければなりませんでしたが、体調は改善しています。」