すでに読み始めた本を読み進めるのではなく、積読されている本を読み進めるということなので、start reading some of the books ... get reading some of the books ... を使っての表現ができます。
I had better start reading some of the books that are piled on my desk.
「机の上に積読してある本を読み進めないとな。」
積読してある本は積まれた未読の本のことをさしますので、机の上に積まれた本を読み始めないとなあ、という風に言えるわけです。
I think I need to get reading a few of the books I've collected over the years.
「長年かけて集めた本を数冊読み始める必要があるな。」
get doing で「〜し始める」という言い方があります。これはカジュアルな言い方です。
Let's get going. なら「出発しよう・行こう」のようなニュアンスです。
ご参考まで！
「本を読み進める」は英語で "To make progress in reading a book" と言います。これは本の内容を少しずつ進めていくという意味です。他にもシンプルに "To keep reading" や "To continue reading a book" と言うこともできます。
例えば、「積読している本を読み進めないとなぁ」は次のように英語で表現できます: "I really need to make progress in reading my piled up books." （積読している本を読み進めないといけないなぁ。）
また、次のようにも言えます: "I need to start working on my stack of unread books." （読んでいない本の山に取り掛からないとなぁ。）
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