すでに読み始めた本を読み進めるのではなく、積読されている本を読み進めるということなので、start reading some of the books ... get reading some of the books ... を使っての表現ができます。
I had better start reading some of the books that are piled on my desk.
「机の上に積読してある本を読み進めないとな。」
積読してある本は積まれた未読の本のことをさしますので、机の上に積まれた本を読み始めないとなあ、という風に言えるわけです。
I think I need to get reading a few of the books I've collected over the years.
「長年かけて集めた本を数冊読み始める必要があるな。」
get doing で「〜し始める」という言い方があります。これはカジュアルな言い方です。
Let's get going. なら「出発しよう・行こう」のようなニュアンスです。
ご参考まで！
カナダ 
