最初の言い方は、原因を追究するためにあるいは原因究明という意味として使いました。
最初の言い方では、figure out は解明する、究明するという意味として使います。例えば、I want to figure out what the cause of the earthquake is by searching and researching it. は地震の原因を追究して、原因究明するという意味として使いました。
二つ目の言い方は、原因究明あるいは原因を追究して明らかにするという意味として使いました。
二つ目の言い方では、To pursuit は追究するという意味として使います。
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原因追求は英語で
finding the cause of ...（…の原因を努力して見つけ出すという意味です）
getting to the root of ...（…の原因（根っこ）を探るという意味です）
と言います。
We will do our best to find the cause of the accident.
「その事故の原因を見つけ出すため最善を尽くします。」
We'll make every effort to get to the root of this problem.
「この問題の原因を探るのに最善を尽くします。」
「最善を尽くす」は
do one's best（尽力を尽くす）
make every effort (あらゆる努力をする）
のように言えます。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
