このシチュエーションでの「こちらから」は I should have been the one to ... （直訳すると私が…する者であるべきだった、となります）と言えます。ただ使い方によっては不自然にもなるので、実際の例文で見てみましょう。
My apologies. I should have introduced myself to you first.
「申し訳ありません。こちらかご挨拶するべきでした。」
これはビジネスシーンで使える言い方ですね。この文は、先ほどの I shoud have been the one to ... を使って言い換えることができます。
= I should have been the one to introduce myself to you.
I should have come over to your house to say hello.
「こちからご挨拶に伺うべきでした。」
こちらは引っ越してきてご近所の方から挨拶される前に、自分から挨拶に伺うべきでした、というシチュエーションに使える言い方です。
同じ意味で下のようにも言えます。
= I should have dropped by your place first.
drop by 「立ち寄る」
このシチュエーションの場合に、最初に紹介した I should have been the one to ... を使っていうと固いというか、不自然になってしまいます。
ご参考まで！
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
I should have introduced myself first.
とすると、「こちらから先にご[挨拶](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/44673/)すべきでした。」となります。
I should have reached out to you first.
とすると、「こちらから先にご連絡すべきでした。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
introduce oneself 自己紹介する
reach out to ～に連絡する
first 先に
take the initiative 自分から行動する
参考になれば幸いです。
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