「不可能を可能にする男だ」=「He's a man who can make the impossible possible.」
文法的にはちょっと分かり難いかもしれません。「He's a man who can make the impossible into the possible.」とか「who can make the impossible be possible」と考えたら、もうちょっと分かりやすくなるでしょう。
意味そのもののニュアンスを正確に伝えるのは例一つ目の文です。achieveで達成する、impossibleで不可能で「不可能(なことを)を達成する」という意味になります。
「不可能を可能にする」という言い回しの響きや雰囲気をより伝えたいのであれば例二つ目の表現がよいでしょう。よくも悪くも格好をつけた表現なので日常会話においては若干使いづらいのが難点ですが。
なお質問者様の挙げている状況に例を当てはめると以下のようになります。
"No, he can do it. He is a man who achieves the impossible."
"No, he can do it. He is a man who renders the impossible possible."