ご質問ありがとうございます。
「gift shopping」や「shopping」はおっしゃった通りに名詞です。言葉の「shopping」の一般動詞の形は「to shop」となります。
なので、「You go to gift shopping」ではなく、「You go to shop (for a gift)」や「You go gift shopping」の方が自然です。
もちろん上記のフレーズの両方をどっちでも言っても良いですが、アメリカ人として、2番目の翻訳を聞いて一番自然な気がします。
ご参考になれば幸いです。