Don't rely on other people=人に頼るな＝他力本願をしない、と言う感じが一番ニュアンスが近いと思います。
自ら手を伸ばして掴み取るをそのまま訳すと＝Reach out yourself to get it.になるのですがあえて、シンプルにDo it yourself＝自分でやれ、を使いました。
You need to take the initiative and grab what you want, instead of depending on others.
「他力本願をせず、自ら手を伸ばしてつかみ取ることが必要だ」という意味を英語で表現すると、「You need to take the initiative and grab what you want, instead of depending on others.」となります。
これは、「他人に頼るのではなく、自分で主導権を握り、欲しいものをつかむ必要があります」という意味になります。
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