帽子を被らないとボクはボクになれない。って英語でなんて言うの？

ご質問ありがとうございます！

ファッションを含めて『私』である。ということ、共感いたします(^^)！

hanuさんの場合でしたら
“I can't be me without hats.”
「帽子なしではボクはボクになれない。」
と言うことができます。
このときMeを強めに言うと「帽子を含めての僕」というのが強調されていいですね。

またはmeを自分の名前に置き換えることも可能です。その場合はこうなりますね。
“I can’t be HANU without hats.”
「帽子をかぶらないとHANUという人間にはなれないんだ。」

また、いつもかぶっている特定のトレードマークのような帽子があるのでしたら”hats”ではなく”the hat”「その帽子」と言いましょう☺︎

ご参考になると幸いです。

ご質問どうもありがとうございます。

上の場面を英語で表現したい場合は、下記の言い方ではいかがでしょうか。
I can only be really me when I'm wearing a hat.

P.S. 「hat」の代わりにも、「cap」（キャップ）という言葉も考えられます。

ご参考にしていただければ幸いです。