I'm not that young.は「私はそこまで若くないよ。」という意味です。特に若く見えるとほめられたときに自虐の意味で使うならこちらの方が近いと思います。例文として"Thanks, but I'm not that young."「ありがとう、でも私はそこまで若くないよ。」
I'm quite old.は「私はそれなりに歳をとっている」という意味です。こちらは自虐でも使われますが、歳相応ではないという意味に使われます。例えば子供向け番組を見る大人が"I'm quite old for this"や"I'm too old for this."などということもあります。
アメリカ合衆国 
