Keitoさん、
ご質問ありがとうございます。
最初の言い方では、「involve in」を使いますね。例えば、
「彼はその事件に関与しているようだ。」＝「He seems to be involved in that incident.」ここでは「～ようだ」＝ ...seem to , 「事件」は incidentです。この使い方では英語で動詞の「受身形」が使われます。（He is involved in that incident）
二つ目の「to take part in/taking part in」は例えば、
「アリスはこの計画に関与していない。」＝「Alice doesn't take part in this plan.」と言います。または「Alice isn't participating in this plan」も言えます。
三つ目では、「I don't want to be involved in that matter.」は「その件に関与したくない。」という意味ですね。つまり何かにinvolved in、何かにtake part inですね。
ご参考になれば幸いです。
前のアンカーの方も挙げておられますが、「関与する」と聞けば、be involved inが最初に浮かびます。
追加で例文を足しておきますね(*^_^*)
例）
The politician was involved in the scandal.
「その政治家はスキャンダルに関与していた」
The player wasn't involved in the scoring.
「その選手は得点に絡まなかった」
以上ですm(__)m
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