わんちゃん抱っこしていいですか？って英語でなんて言うの？

一つ目の文は飼い主がワンちゃんを抱っこしている場合に使います。
二つ目の文は飼い主が抱っこしていない場合、ワンちゃんが自分で立ったり歩ったりしている場合に使います。

ワンちゃんがメスだったら "her"という言葉を使い、
オスだったら "him"という言葉を使います。

"can"という言葉の代わりに "may"という言葉も使えます。例えば;
"May I hold her?"　
"may"という言葉は "can"という言葉より丁寧です。