I apologise for bothering you during your holidays.
"I'm sorry to contact you on your day off."＝「お休みの日に連絡をしてしまいすみません。」
"I apologise for bothering you during your holidays."＝「休暇中にご迷惑・お手数をおかけしてしまいお詫び申し上げます。」
回答1より回答2の方がよりフォーマルな謝り方です。使い分け方としては謝罪の程度というよりも相手との関係性によって違ってきます。
回答1でも "I'm very sorry" や "I'm so sorry" と言うことにより、より深い謝罪になります。
また、回答２の場合は "I deeply apologise" や "I sincerely apologise" という様に謝罪の気持ちを強調することができます。
回答1と回答2の"on your day off"と"during your holidays"は休みの日（day off)なのか休暇中(holidays)によって使い分けてください。
ご質問ありがとうございます。
「休みの日」はday offと言いますが、vacationとholidayにも訳してもいいと思います。botherは「迷惑する」というニュアンスですので、「関わらず」の気持ちも伝わると思いますね。でも、contactも使えます。
例文：Sorry for contacting you on your day off.
ご参考になれば幸いです。
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