「子供の頃(大きくなったら)何になりたかった?」という例文です。
grow up は成長する、大人になる。
大人になった時に何になりたいと思っていたか、ということでここは時制の一致が生じます。
したがって、grew up となるんですね。
俳優になりたかった、と答えたい場合は、
I wanted to be an actor/actress.
英語の先生になりたかった、と言いたい場合は、
I wanted to be an English teacher.
です。
自分からの説明として、「子供の頃なりたかった職業」を直訳して、そのままでも使えます。
そうしますと、I wanted to be a ○○ when I was a child. (○○=職業)
「なりたかった」はwantを過去形にするとwantedになります。
「子供の頃」はwhen I was a childまたはas a childです。
もう1つの表現の「I dreamed of becoming a ○○」は、「○○になることを夢見ていた」というニュアンスとなります。
例) I wanted to be a teacher when I was a child.
例) I dreamed of becoming a singer as a child.