「記録をつける」は
keep a log of ...（記録をとる・つける/ 日誌を書く）
keep track of ...（〜の記録をつける・〜の経過を追う）
と言います。
例：
I started keeping a log of what we study online.
「オンラインで勉強していることの記録をつけ始めた。」
I began to keep track of all the stuff I've learned in our online class.
「オンラインのクラスで学んだこと全ての記録をつけ始めた。」
ご参考まで！
「記録をつける」は英語で "Keep record" または "Write down" と言います。違いは、"Keep record" は数字や時間など短いことを記録するときに使われるフレーズです。"Write down" は直訳すると「書き留める」と言う意味で文章など長い説明を記録する場合に使われます。
例文：
Please keep record of the minutes it took to finish the test. 「テストを取るのにかかった時間を記録しておいてください。」
Please write down what we did during the English class. 「英語の授業の内容を記録しておいてください。」
ご参考になれば幸いです。
「英会話をはじめる」という表現を英語にすると少し難しいですね。「英会話」を直訳すると「english conversation」になりますが、例の表現を直訳「after starting English conversation」はとてもおかしい英語です。
「オンライン英会話をはじめてから、毎日英会話の内容の記録をつけるようになった。」
After starting to converse in English online, I started to keep a record of the content I talked about in English every day.
「to keep〜」という動詞は「〜をつける」、「〜預かる」、「〜を飼う」などの意味があります。
「私は日記をつけています。」
I keep a diary.
「4時まで荷物を預かっていただけませんか？」
Can you keep my bags until 4?
「犬を飼っています。」
I keep a dog.
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