ボタンをかけるって英語でなんて言うの？

do up はけっこう便利です。

ボタンをかけるとき、靴ヒモをむすぶとき、などに使います。

例）If you are cold, why not do up your coat?（寒いんならコートのボタンとめれば？）

例）Make sure to do up the top button.（一番上のボタンまでちゃんとしなさい。）

Buttonは動詞にもなりますので変な文章に見えますがご質問の「ボタンをかける」の表現になります。

Button upは「ボタンをしなさい」＝「ボタンをつける」や「ボタンをかける」と言う意味合いになります。

buttonは動詞にもなり、「シャツのボタンをする」という場合はshirtを目的語にもってくることができます。
例）
He is buttoning his shirt.
「彼はシャツのボタンをかけている」