"Thank you for looking after my son."とはホームステイさせて頂いた後で言った方がいいと思うでしょう、しかし何かをしてもらう前にも使うことができます。
今回の場合はホームステイするを前に感謝の気持ちを相手に表す時に使うことができます。
"Please take good care of our son"とは感謝の気持ちではなくて息子の大切さを表します。
なので一つ目の文の方が丁寧です。
両方での "my son"と "our son"の代わりに息子の名前をつけてもいいです。
例えば; "Thank you for looking after Michael."
Thank you so much for welcoming my son into your home for the homestay. I appreciate your kindness, and I would be grateful if you could take care of him during his stay.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
先のアンカーさんが回答されておりますので、ここでは他の例を挙げてみます。
Thank you so much for welcoming my son into your home for the homestay. I appreciate your kindness, and I would be grateful if you could take care of him during his stay.
とすると、「息子を[ホームステイ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32270/)させていただきありがとうございます。感謝しております。息子のことをよろしくお願いいたします。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
take care of ～の面倒を見る
参考になれば幸いです。
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