ご質問ありがとうございます。
意味：
～がきっかけに：as a start, inspired by
「この名前(私の名前)をきっかけに会話が生まれたり、仲良くなれたりします」
Taking my name as a start, many new conversations start, I become friends with many.
例：
1. I started exercising because of the medical checkup.
「健康診断の数値がきっかけに、運動を始めました。」
2. Inspired by the Japanese 'manga', I started to learn Japanese language.
「日本の漫画がきっかけに、日本語を習い始めた。」
お役に立てば嬉しいです。
いろんな言い方があるので、一番ストレートのstartを紹介します。
しかし、まず質問者があげた文の訳を注目したいと思います。
「この名前(私の名前)をきっかけに会話が生まれたり、仲良くなれたりします。」
本当は、英語の表現にするには、もっと情報量が増やしたのがいいです。例えば、名前が「珍しい」からとか、「覚えやすい」などのポイントを加えないと、「なぜそれで会話が生まれたの？」という疑問が湧きます。なので、仮に「珍しい名前」にして、例を挙げます。
“My name, which is quite rare, became a conversation starter, and we hit it off.”
Conversation starter は、「会話が生まれるきっかけ」となります。結構頻繁に使う表現です。
Hit it off は「すぐ仲良くなる」の意味で、became friends のカジュアルな言い方＋すぐ打ち解ける、というニュアンスがあります。
そもそも「きっかけ」が名詞で、何かの「スタート」に示すので、start がふさわしいでしょう。
例：This drama was the start of me becoming interested in Japanese.
これは日本語に興味を持つきっかけとなったドラマです。
動詞としても使えます。
例：I got upset again when I thought about what started the fight.
喧嘩のきっかけになったのを思い出してまたイライラしはじめた。
（what が代名詞で、「あること」が喧嘩をstartした）
他の関連する単語は：
cause, opportunity, chance, (something) that led me to (something), impetus など
ご参考になさってください。
インド 
シンガポール 
